Question

11．设z₁、z₂是实系数方程z²+tz+t+3=0（t∈R）的两个虚数根，复数α满足αz₁+z₂=0．
（1）求复数α的模|α|；
（2）求证：α+$\frac{1}{α}$为实数，并求α+$\frac{1}{α}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用复数的模的求解法则，共轭复数的模相等，化简求解即可．
（2）利用（1）的表达式通过函数的单调性求出取值范围即可．

解答 解：（1）复数α满足αz₁+z₂=0，
可得：αz₁=-z₂，
|αz₁|=|-z₂|．
即|α||z₁|=|-z₂|．
因为z₁、z₂是实系数方程z²+tz+t+3=0（t∈R）的两个虚数根，所以|z₁|=|z₂|．
所以|α|=1．
（2）z₁、z₂是实系数方程z²+tz+t+3=0（t∈R）的两个虚数根，
∴z₁+z₂=-t，z₁z₂=t+3，
又αz₁+z₂=0，可得α=$-\frac{{z}_{2}}{{z}_{1}}$，
∴α+$\frac{1}{α}$=$-\frac{{z}_{2}}{{z}_{1}}$$-\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=-$\frac{{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{1}}^{2}}{{z}_{1}{z}_{2}}$=-$\frac{{（z}_{2}+{{z}_{1}）}^{2}-4{z}_{1}{z}_{2}}{{z}_{1}{z}_{2}}$=-$\frac{{t}^{2}-4t-12}{t+3}$∈R．
由题意可知：△=t²-4t-12＜0．
可得：-2＜t＜6，t+3∈（1，9）
α+$\frac{1}{α}$=-$\frac{{t}^{2}-4t-12}{t+3}$=-[（t+3）+$\frac{1}{t+3}$-10]，令t+3=x，
∴α+$\frac{1}{α}$=-（x+$\frac{1}{x}$-10），因为f（x）=x+$\frac{1}{x}$在x∈（1，9）上是增函数，
可得：f（x）∈（2，$\frac{82}{9}$）
∴α+$\frac{1}{α}$∈（$\frac{8}{9}$，8）．

点评 本题考查复数的基本运算，复数的模的求法以及函数的单调性的应用，考查计算能力．