Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PD=AD=DC=2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为$\frac{π}{4}$；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，设PD=AD=DC=2AB=2，求出$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），利用向量夹角公式求出异面直线PC与AB所成角；求出平面PDC的法向量，即可求出直线PB与平面PDC所成角的正弦值．

解答 解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间坐标系
设PD=AD=DC=2AB=2，则P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0）
∴$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0）
设异面直线PC与AB所成角为θ
则cosθ=$\frac{2}{\sqrt{4+4}•1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$．
平面PDC的法向量为$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），
∵$\overrightarrow{PB}$=（2，1，-2），
∴直线PB与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{4}{2•\sqrt{4+1+4}}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$，$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查异面直线PC与AB所成角、直线PB与平面PDC所成角的正弦值，考查向量法的运用，正确求向量的坐标是关键．