Question

7．如图所示，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，CE=2AF=2．
（1）求证：AE⊥平面BDF；
（2）求二面角D-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明AE⊥平面BDF．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求出二面角D-EF-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，
∴CE⊥平面ABCD，
以C为坐标原点，以CD，CB，CE分别为x，y，z轴建立坐标系如图：
∵AB=$\sqrt{2}$，CE=2AF=2．
∴C（0，0，0），D（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），F（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，1），E（0，0，2），
则$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，2），$\overrightarrow{BD}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BF}$=（$\sqrt{2}$，0，-1），
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，2）•（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0）=-2+2+0=0，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，2）•（$\sqrt{2}$，0，-1）=2-0-2=0，
即AE⊥BD，AE⊥BF，
∵BD∩BF=B，
∴AE⊥平面BDF；
（2）设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）
$\overrightarrow{DE}$=（-$\sqrt{2}$，0，2），$\overrightarrow{DF}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x+2z=0}\\{\sqrt{2}y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{2}$，则y=-1，x=2，
即$\overrightarrow{m}$=（2，-1，$\sqrt{2}$），
设平面EFB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{EF}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，-1），），$\overrightarrow{BF}$=（$\sqrt{2}$，0，-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-z=0}\\{\sqrt{2}x-z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{2}$，则x=1，y=0，
即$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{2}$），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+0+2}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}•\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{7}×\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$，
即二面角D-EF-B的余弦值为=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．