Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E，F，G分别为PB，PA，BC的中点．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求证：PD∥平面EFG；
（3）求二面角A-EG-F的度数．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，利用向量法即可证明PD⊥EF；
（2）建立坐标系，利用向量法PD∥平面EFG；
（3）建立坐标系，利用向量法即可求二面角A-EG-F的度数．

解答 （1）证明：如图：分别以AD，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，0，1），
则$\overrightarrow{PD}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，0），
∴$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{EF}$=（2，0，-2）•（0，-1，0）=0，
即PD⊥EF；
（2）证明：∵G（1，2，0），E（0，1，1），
∴$\overrightarrow{EG}$=（1，1，-1），
设平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{EF}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{EG}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-y=0}\\{x+y-z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则z=1，y=0，
即$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∵$\overrightarrow{PD}$=（2，0，-2），
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PD}$=2-2=0．
即$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{PD}$，
∵PD?平面EFG，
∴PD∥平面EFG；
（3）解：设平面EAG的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{EA}$=（0，1，1），），$\overrightarrow{GA}$=（1，2，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GA}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，
令x=2，则y=-1，z=1，
即$\overrightarrow{m}$=（2，-1，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
易知二面角A-EG-F为锐二面角，
则二面角A-EG-F的度数为30°．

点评 本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．