Question

20．在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，AA′=$\sqrt{3}$a，则直线AB′与侧面AC′所成角的正切值为$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

Answer 1

分析 取A'C'的中点D，连接B'D，AD，由线面垂直的性质和判定定理，得到B'D⊥平面AC'，则∠B'AD即为直线AB′与侧面AC′所成的角，再由解直角三角形的知识，即可得到所成角的正切值．

解答 解：取A'C'的中点D，连接B'D，AD，
则由底面边长为a的正三角形，得，B'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，B'D⊥A'C'，
在直三棱柱中，AA'⊥底面A'B'C'，
则AA'⊥B'D，即有B'D⊥平面AC'，
则∠B'AD即为直线AB′与侧面AC′所成的角，
在直角三角形B'AD中，B'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，
则tan∠B'AD=$\frac{\sqrt{39}}{13}$．
故直线AB′与侧面AC′所成角的正切值为$\frac{\sqrt{39}}{13}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质定理及运用，考查空间直线与平面所成的角的求法，考查运算能力，属于中档题．