Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，且a+b=$\sqrt{2}+1$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A、B两点，证明点O到直线AB的距离为定值．

Answer 1

分析 （1）易知c=1；从而可求得a=$\sqrt{2}$，b=1；从而写出椭圆C的方程．
（2）不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），从而由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0}\\{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，从而化简可得2（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）=4-3${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$；再设点O到直线AB的距离为d，从而化简d=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．从而证明．

解答 解：（1）由题意知，2c=2，
故c=1；
又∵a²-b²=c²=1；
∴a-b=$\frac{1}{a+b}$=$\sqrt{2}$-1；
∴a=$\sqrt{2}$，b=1；
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）证明：不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0}\\{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，
则${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$=${{y}_{1}}^{2}$${{y}_{2}}^{2}$=（1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$）（1-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$）；
即2（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）=4-3${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$；
设点O到直线AB的距离为d，
d=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（1+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}）（1+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}）}{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1+\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2}+\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{4}}{1+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+1+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1+（1-\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}）+\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{4}}{2+（1-\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}）}}$
=$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故点O到直线AB的距离为定值．

点评 本题考查了椭圆的方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断，属于难题．