Question

1．椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上有两点P，Q，O为原点，连OP，OQ，P，Q中点为M，OP，OQ的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，求点M的轨迹E的方程．

Answer 1

分析 利用参数设出点P，Q的坐标，根据OP，OQ的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，可得cos（α-β）=0，确定PQ的中点M的坐标，消去参数，即可求得PQ的中点M的轨迹方程．

解答 解：设P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ）．
∵OP，OQ的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2sinα}{4cosα}×\frac{2sinβ}{4cosβ}=-\frac{1}{4}$
∴cos（α-β）=0，
设M（x，y），则x=2cosα+2cosβ，即$\frac{x}{2}$=cosα+cosβ①，y=sinα+sinβ②
∴①²+②²可得：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查轨迹方程，考查参数的运用，正确设出点的坐标是关键．