Question

16．已知直线l₁：y=k（x-1）与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）交于M、N两点，点P是线段MN的中点，且直线OP的斜率为-$\frac{3}{4k}$（k∈R，k≠0），其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C的焦距为2c=2，AB是直线l₂：y=kx与椭圆C相交所得的弦，试判断$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立直线l₁和椭圆C的方程，并整理成关于x的一元二次方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据韦达定理便能求出x₁+x₂，y₁+y₂，从而得到P点坐标P（$\frac{{a}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，\frac{-{b}^{2}k}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$），从而根据OP的斜率$-\frac{3}{4k}$即可求出该椭圆的离心率；
（2）根据椭圆的焦距及离心率即可求出椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，联立直线l₁的方程，用上韦达定理及弦长公式即可求出|MN|，同样的办法求出|AB|²，从而计算$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$，即可判断该值是否为定值．

解答 解：（1）直线l₁的方程y=k（x-1）带入椭圆方程并整理得：
$（\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{k}^{2}}{{b}^{2}}）{x}^{2}-\frac{2{k}^{2}}{{b}^{2}}x+\frac{{k}^{2}}{{b}^{2}}-1=0$；
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2{b}^{2}k}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$；
∴$P（\frac{{a}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，\frac{-{b}^{2}k}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}）$；
∴OP的斜率为$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}k}=-\frac{3}{4k}$；
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$；
∴椭圆C的离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）2c=2，∴c=1，a=2，b²=3；
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$；
∴$|MN|=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{4（4{k}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得，${x}^{2}=\frac{12}{3+4{k}^{2}}$；
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），则：${x}_{3}+{x}_{4}=0，{x}_{3}{x}_{4}=\frac{-12}{3+4{k}^{2}}$；
∴$|AB{|}^{2}=（1+{k}^{2}）•（0+\frac{48}{3+4{k}^{2}}）$=$\frac{48（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$；
∴$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}=4$；
即$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$为定值，且定值为4．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆离心率、焦距的概念，及a²=b²+c²，韦达定理，中点坐标公式，以及直线斜率的概念及求法，弦长公式．