Question

16．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（1）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）若AA₁=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$AB，求二面角C₁-AD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）根据二面角的定义求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可，求二面角C₁-AD-C的大小．

解答 解：$\left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}（1）{C_1}C⊥平面ABC\\ AD?平面ABC\end{array}\right\}⇒{C_1}C⊥AD\\ AD⊥{C_1}D\\ \\ D{C_1}∩C{C_1}={C_1}\end{array}\right\}⇒$AD⊥平面CDC₁
则AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）∵C₁D⊥AD，CD⊥AD，
∴∠CDC₁为二面角的平面角，
在Rt△C₁CD中，∵$A{A_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AB$，
∴$CD=\frac{1}{2}{C_1}D，∠CD{C_1}={60^0}$，
∴二面角C₁-AD-C的大小为60⁰．

点评 本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用定义法是解决本题的关键．