Question

8．四面体ABCD中，点G₁，G₂，G₃，G₄分别是△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的重心．求证：AG₁，BG₂，CG₃，DG₄交于一点．

Answer 1

分析 由三角形重心的性质说明AG₁，BG₂相交于一点M，然后证明CG₃，DG₄过点M即可．

解答 证明：如图，
∵G₁，G₂分别是△BCD，△ACD的重心，
连接BG₂，AG₁并延长，交CD于点E，在平面ABE中，设AG₁∩BG₂=M，则$\frac{{G}_{1}M}{MA}=\frac{{G}_{2}M}{MB}=\frac{1}{3}$，
连接DG₁，AG₄并延长交于N，在平面ADN中，设AG₁∩DG₄=M′，则$\frac{{G}_{1}M′}{M′A}=\frac{{G}_{4}M′}{M′D}=\frac{1}{3}$，
从而可得M，M′重合，即AG₁，BG₂，DG₄交于一点M，
同理可得CG₃过点M．
即AG₁，BG₂，CG₃，DG₄交于一点．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，考查了三角形重心的性质，训练了统一法证明线共点问题，是中档题．