Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N^*）．定义：使乘积a₁•a₂…a_k为正整数的k（k∈N^*）叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为2036．

Answer 1

分析 由题意，及对数的换底公式知，a₁•a₂•a₃…a_k=log₂（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可．

解答 解：∵a_n=log_n（n+1），
∴由a₁•a₂…a_k为整数得1•log₂3•log₃4…log_k（k+1）=log₂（k+1）为整数，
设log₂（k+1）=m，则k+1=2^m，
∴k=2^m-1；
∵2¹¹=2048＞2015，
∴区间[1，2015]内所有“易整数”为：2¹-1，2²-1，2³-1，2⁴-1，…，2¹⁰-1，
其和M=2¹-1+2²-1+2³-1+2⁴-1+…+2¹⁰-1=$\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$-10=2¹¹-2-10=2036．
故答案为：2036．

点评 本题以新定义“易整数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用．