Question

18．已知A（-2，0），B（0，2），P是圆C：x²+y²+kx-2y=0上的动点，点M．N在圆上，且与直线x-y-1=0对称
（1）求圆心C的坐标及半径；
（2）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由点M．N在圆上且关于直线x-y-1=0对称可知x-y-1=0是圆的直径所在的直线方程，即过已知圆的圆心，从而可求k，进而可求圆心及半径
（2）先求出圆心C到直线AB的距离，根据圆的性质可知，P到直线x-y+2=0的最大距离为d+r，进而可求△PAB面积的最大值为S=$\frac{1}{2}$|AB|•（d+r）

解答 解：（1）∵点M．N在圆上且关于直线x-y-1=0对称，
∴x-y-1=0是圆的直径所在的直线方程，即过已知圆的圆心（-$\frac{k}{2}，1$），
∴$-\frac{1}{2}k-1-1=0$，
∴k=-4，
∴⊙C：x²+y²-4x-2y=0，
即（x-2）²+（y-1）²=5，
圆心C（2，1），半径r=$\sqrt{5}$；
（2）∵|AB|=$2\sqrt{2}$，直线AB的方程为：x-y+2=0，
∴C（2，1）到直线AB的距离d=$\frac{|2-1+2|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
根据圆的性质可知，P到直线x-y+2=0的最大距离为d+r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{5}$，
∴△PAB面积的最大值为S=$\frac{1}{2}$|AB|•（d+r）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{5}）$=3+$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线与圆的方程的应用，点到直线的距离，直线方程的求法，考查计算能力