Question

19．已知等差数列{a_n}的前n项和为 S_n，a₁+a₃=$\frac{3}{2}$，S₅=5．
（Ⅰ）求数列{a_n }的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{b_n }满足 a_nb_n=$\frac{1}{4}$，求数列{b_nb_n+₁} 的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₁+a₃=$\frac{3}{2}$、S₅=5，利用等差中项的性质可得a₂=$\frac{3}{4}$、a₃=1，进而可得结论；
（Ⅱ）通过a_nb_n=$\frac{1}{4}$、a_n=$\frac{n+1}{4}$，可得b_n=$\frac{1}{n+1}$，利用裂项法可得b_nb_n+1=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，通过并项相加即可．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₃=$\frac{3}{2}$，
∴2a₂=a₁+a₃=$\frac{3}{2}$，即a₂=$\frac{3}{4}$，
再又等差中项的性质可得S₅=5a₃=5，即a₃=1，
∴d=a₃-a₂=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，a₁=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$（n-1）=$\frac{n+1}{4}$；
（Ⅱ）∵a_nb_n=$\frac{1}{4}$，a_n=$\frac{n+1}{4}$，
∴b_n=$\frac{1}{n+1}$，∴b_nb_n+1=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查求数列的通项，利用等差中项的性质及裂项相消法是解决本题的关键，属于中档题．