Question

19．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a≠0）在x=$\frac{π}{4}$处取得最小值，则函数$g（x）=f（{\frac{3π}{4}-x}）$是（　　）

• A． 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
• B． 偶函数且它的图象关于点$（{\frac{3π}{2}，0}）$对称
• C． 奇函数且它的图象关于点$（{\frac{3π}{2}，0}）$对称
• D． 奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

Answer 1

分析 由题意可得f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，求得a=b，由此化简函数$g（x）=f（{\frac{3π}{4}-x}）$ 的解析式为$\sqrt{2}$a•sinx，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a≠0）在x=$\frac{π}{4}$处取得最小值，
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，∴$\frac{1}{2}$（a²+b²+2ab）=a²+b²，∴（a-b）²=0，a=b．
函数$g（x）=f（{\frac{3π}{4}-x}）$=asin（$\frac{3π}{4}$-x）+bcos（$\frac{3π}{4}$-x）=a（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）+a（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）=$\sqrt{2}$a•sinx，
故g（x）是奇函数，且函数的图象关于点点（π，0）对称，
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数的图象的对称性，正弦函数的图象特征，属于基础题．