Question

7．已知等差数列{a_n}中，首项中a₁=1，公差d为整数，且满足a₁+3＜a₃，a₂+5＞a₄，数列{b_n}前n项和为S_n，且S_n=n²+n-1，n∈N⁺．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{b}_{n}+1）}$．求T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₁+3＜a₃、a₂+5＞a₄可得d=2，进而可得a_n=2n-1；利用b_n+1=S_n+1-S_n可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{2n，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）当n=1时c₁=$\frac{1}{2}$，当n≥2时分离分母可得c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a₁+3＜a₃，a₂+5＞a₄，
∴3＜a₃-a₁=2d=a₄-a₂＜5，
又公差d为整数，∴d=2，
又首项a₁=1，∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
∵S_n=n²+n-1，
∴b_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²+（n+1）-1-[n²+n-1]=2n+2，
又∵b₁=S₁=1+1-1=1，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{2n，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）当n=1时，c₁=$\frac{1}{{a}_{1}（{b}_{1}+1）}$=$\frac{1}{1×（1+1）}$=$\frac{1}{2}$，
当n≥2时，c_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{b}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{n-1}{3（2n+1）}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．