Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，M是椭圆上任一点，△MF₁F₂面积的最大值为1，椭圆的内接矩形（矩形的边与椭圆的对称轴平行）面积的最大值为2$\sqrt{2}$，则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．

Answer 1

分析 M是椭圆上任一点，当M为短轴的端点时，△MF₁F₂面积取得最大，即为bc=1，可设椭圆内接矩形的四个顶点的坐标，求得面积，由点满足椭圆方程，运用基本不等式求得面积的最大值，即为ab=$\sqrt{2}$，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：M是椭圆上任一点，当M为短轴的端点时，
△MF₁F₂面积取得最大，且为$\frac{1}{2}$•b•2c=bc，
由题意可得bc=1，①
又设椭圆内接矩形的顶点为（m，n），（m，-n），（-m，-n），（-m，n），
则矩形的面积为4|mn|，
由$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1≥2•|$\frac{mn}{ab}$|，
可得|mn|≤$\frac{1}{2}$ab，
当且仅当$\frac{|m|}{a}$=$\frac{|n|}{b}$时，取得等号．
由题意可得，2ab=2$\sqrt{2}$，
即ab=$\sqrt{2}$，②
又a²-b²=c²，③
由①②③解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．

点评 本题考查椭圆方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用和范围，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．