Question

6．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，给出以下命题：
①直线A₁B与B₁C所成的角为60°；
②动点M在表面上从点A到点C₁经过的最短路程为1+$\sqrt{2}$；
③若N是线段AC₁上的动点，则直线CN与平面BDC₁所成角的正弦值的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]；
④若P、Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体PQB₁D₁的体积恒为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
则上述命题中正确的有①③④．（填写所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①先证明A₁B与A₁D所成角为60°，又B₁C∥A₁D，可得直线A₁B与B₁C所成的角为60°，判断①正确；
②将面AB₁与面A₁C₁展开，那么动点M在表面上从点A到点C₁经过的最短路程为$\sqrt{5}$判断②错误；
③由平面BDC₁⊥平面ACC₁，结合线面角的定义分别求出直线CN与平面BDC₁所成角的正弦值最大值与最小值判断③正确；
④在PQ变化过程中，四面体PQB₁D₁的顶点D₁到底面B₁PQ的距离不变，底面积不变，则体积不变，求出体积判断④正确．

解答 解：①在△A₁BD中，每条边都是$\sqrt{2}$，即为等边三角形，∴A₁B与A₁D所成角为60°，
又B₁C∥A₁D，∴直线A₁B与B₁C所成的角为60°，正确；
②将面AB₁与面A₁C₁展开，那么动点M在表面上从点A到点C₁经过的最短路程为AC₁，AC₁=$\sqrt{5}$，错误；
③如图，由正方体可得平面BDC₁⊥平面ACC₁，当N点位于AC₁上，且使CN⊥平面BDC₁时，直线CN与平面BDC₁所成角的正弦值最大为1，
当N与C₁重合时，连接CN交平面BDC₁所得斜线最长，直线CN与平面BDC₁所成角的正弦值最小等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线CN与平面BDC₁所成角的正弦值的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]，正确；

④连接B₁P，B₁Q，设D₁到平面B₁AC的距离为h，则h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，B₁到直线AC的距离为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则四面体PQB₁D₁的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{2}{3}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，正确．
∴正确的命题是①③④．
故答案为：①③④

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间点线面的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．