Question

15．已知函数f（x）=alnx+x²f′（1）+${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx，且f′（2）=7，
（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）＞m对于x＞$\frac{1}{e}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由定积分公式，求出${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx=1，再求出函数的导数，令x=1，2求出a=-2，再由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）分离参数，运用导数求出单调区间和极值，进而得到最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）由于${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx=lnx|${\;}_{1}^{e}$=lne-ln1=1，
则f（x）=alnx+x²f′（1）+1，则f′（x）=$\frac{a}{x}$+2xf′（1），
则f′（1）=a+2f′（1），即有f′（1）=-a，
又f′（2）=$\frac{a}{2}$+4•（-a）=7，解得，a=-2，f′（1）=2．
则有f（x）=-2lnx+2x²+1．即有f′（x）=-$\frac{2}{x}$+4x，
即f′（1）=2，f（1）=3，
则曲线f（x）在x=1处的切线方程为：y-3=2（x-1），即2x-y+1=0；
（2）函数f（x）＞m对于x＞$\frac{1}{e}$恒成立，即为m＜f（x）在x＞$\frac{1}{e}$的最小值．
由于f′（x）=）=-$\frac{2}{x}$+4x，（x＞$\frac{1}{e}$），
当$\frac{1}{e}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f′（x）＜0，当x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f′（x）＞0，
则f（x）在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取得极小值，也为最小值，
且为-2ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2×+1=2+ln2．
则有m＜2+ln2．
则实数m的取值范围是（-∞，2+ln2）

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间和极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查定积分的运算，属于中档题