Question

20．如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥AB，PA⊥BC，D为BC的中点，PA=PD=2，AB=AC=4．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）在棱PB上是否存在点E，使得二面角E-AD-P的大小为45°，若存在，请求出PE的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥AD，可得BC⊥平面PAD，即可证明PD⊥BC；
（2）取AD的中点F，连接PF，作OE∥BC，作OM∥PF，则OE⊥平面PAD，确定∠OME是二面角E-AD-P的平面角，利用OM=OE，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴BC⊥AD，
∵PA⊥BC，PA∩AD=A，
∴BC⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴PD⊥BC；
（2）解：PE=$\frac{1}{3}$PB时，二面角E-AD-P的大小为45°．
取AD的中点F，连接PF，作OE∥BC，作OM∥PF，则OE⊥平面PAD，
由题意，AD=2$\sqrt{2}$，∴PA⊥PD，∴PF⊥AD，∴OM⊥AD，
∴∠OME是二面角E-AD-P的平面角，
设PE=λPC，则OE=2$\sqrt{2}$λ．OM=$\sqrt{2}$（1-λ），
∵二面角E-AD-P的大小为45°，
∴OE=OM，
∴2$\sqrt{2}$λ=$\sqrt{2}$（1-λ），
∴λ=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．