Question

20．已知定义在R上的偶函数，f（x）在x＞0时，f（x）=e^x+lnx，若f（a）＜f（a-1），则a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 函数e^x，lnx在（0，+∞）上都为增函数，从而得到f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而由f（x）为偶函数及f（a）＜f（a-1）得到f（|a|）＜f（|a-1|），从而得到|a|＜|a-1|，解该不等式即得a的取值范围．

解答 解：x＞0时，f（x）=e^x+lnx，e^x，lnx在（0，+∞）上都是增函数；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
由已知条件知f（|a|）＜f（|a-1|）得|a|＜|a-1|；
∴解得$a＜\frac{1}{2}$；
∴a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$）．

点评 考查指数函数、对数函数的单调性，f（x），g（x）在区间I上都为增函数时，f（x）+g（x）在I上也是增函数，偶函数的定义，以及增函数定义的运用．