Question

11．已知函数f（x）=ae^x-be^-x-2x（a，b∈R）的导函数f'（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率0（其中e=2.71828…）
（1）求a，b的值；
（2）设g（x）=f（2x）-4mf（x），若g（x）有极值．
（i）求m的取值范围；
（ii）试比较e^m-1与m^e-1的大小并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f′（x）为偶函数，f′（0）=a+b-2=0，即可求a，b的值；
（2）（i）g′（x）=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x-2m+2），由e^x+e^-x-2≥0，只要讨论e^x+e^-x-2m+2的符号，即可求m的取值范围；
（ii）由上知，m＞2，比较e^m-1与m^e-1的大小，即比较m-1与（e-1）lnm的大小，即确定m-1-（e-1）lnm的符号．考查M（x）=x-（e-1）lnx-1，x＞2，M′（x）=1-$\frac{e-1}{x}$$＞1-\frac{e-1}{2}$＞0，M（x）在（2，+∞）上单调递增且M（e）=0，分类讨论，即可比较e^m-1与m^e-1的大小并证明你的结论．

解答 解：（1）∵f（x）=ae^x-be^-x-2x，
∴f′（x）=ae^x+be^-x-2
∵f′（x）为偶函数，
∴f′（-x）=f′（x），
∴（a-b）（e^x-e^-x）=0，
∴a=b，
∵f′（0）=a+b-2=0，
∴a=b=1；
（2）（i）g（x）=f（2x）-4mf（x）=e^2x-e^-2x-4m（e^x-e^-x）+（8m-4）x，
∴g′（x）=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x-2m+2），
由e^x+e^-x-2≥0，只要讨论e^x+e^-x-2m+2的符号．
①2m-2＜2，即m＜2时，e^x+e^-x-2m+2＞0，g′（x）＞0，此时g（x）无极值；
②2m-2=2，即m=2时，e^x+e^-x-2m+2≥0，g′（x）≥0，此时g（x）无极值；
③2m-2＞2，即m＞2时，令t=e^x，则$t+\frac{1}{t}-2m+2=0$的两个根为t_1，2=m-1±$\sqrt{m（m-2）}$＞0，
则g′（x）=0有两个根x₁=$\frac{1}{2}$lnt₁，x₂=$\frac{1}{2}$lnt₂，
x＜x₁时，g′（x）＞0；x₁＜x＜x₂，g′（x）＜0；x＞x₂，g′（x）＞0；
∴x=x₁时取得极大值，x=x₂时取得极小值，
综上，m的取值范围为（2，+∞）；
（ii）由上知，m＞2，比较e^m-1与m^e-1的大小，即比较m-1与（e-1）lnm的大小，即确定m-1-（e-1）lnm的符号．
考查M（x）=x-（e-1）lnx-1，x＞2，M′（x）=1-$\frac{e-1}{x}$$＞1-\frac{e-1}{2}$＞0
∴M（x）在（2，+∞）上单调递增且M（e）=0，
∴x=e时，M（x）=0，即x-1=（e-1）lnx，∴e^x-1=x^e-1；
x＞e时，M（x）＞0，即x-1＞（e-1）lnx，∴e^x-1＞x^e-1；
2＜x＜e时，M（x）＜0，即x-1＜（e-1）lnx，∴e^x-1＜x^e-1．
综上，m=e时，e^x-1=x^e-1；m＞e时，e^x-1＞x^e-1；m＜e时，e^x-1＜x^e-1．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查大小比较，考查分类讨论的数学数学，有难度．