Question

2．如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中．其中第i行，第j列的数记作a_ij，i，j∈N^*，如a₁₁=2，a₂₃=16．

2	4	8	14	…
6	10	16	24	…
12	18	26	36	…
20	28	38	50	…
…	…	…	…	…

（Ⅰ）写出a₁₅，a₅₃，a₆₆的值；
（Ⅱ） 若a_ij=502，求i，j的值；（只需写出结论）
（Ⅲ）设b_n=a_nn，c_n=$\frac{1}{2^n}-\frac{4}{{{b_{n+1}}-2}}$（n∈N^*，），记数列{c_n}的前n项和为S_n，求S_n；并求正整数k，使得对任意n∈N^*，均有S_k≥S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据所给规律，写出a₁₅，a₅₃，a₆₆的值；
（Ⅱ）若a_ij=502，根据所给规律求i，j的值；
（Ⅲ）位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是2，10，26，50，b_n是依（ II）中排法的第2n-1组的中间一个数，即第n个数，可得S_n；确定当n≥5时，c_n＜0，即可求正整数k，使得对任意n∈N^*，均有S_k≥S_n．

解答 解：（I）a₁₅=22，a₅₃=52，a₆₆=122．…（4分）
（II）I=20，j=3．…（8分）
（III）位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是2，10，26，50，b_n是依（ II）中排法的第2n-1组的中间一个数，即第n个数，
所以b_n=（2n-1）2 n-2（n-1）=4 n²-4 n+2=4n（ n-1）+2，n=1，2，3，…；
因为${c_n}=\frac{1}{2^n}-\frac{4}{{{b_{n+1}}-2}}$所以${c_n}=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{n（n+1）}（n∈{N^*}）$，
故${S_n}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2^n}（n∈{N^*}）$．…（10分）
因为c₁=0，c₂＞0，c₃＞0，c₄＞0；当n≥5时，${c_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}[{\frac{{n（{n+1}）}}{2^n}-1}]$，
而$[\frac{{n（{n+1}）}}{2^n}-1]-[\frac{{（{n+1}）（{n+2}）}}{{{2^{n+1}}}}-1]$=$\frac{{n（{n+1}）}}{2^n}-\frac{{（{n+1}）（{n+2}）}}{{{2^{n+1}}}}=\frac{{（{n+1}）（{n-2}）}}{{{2^{n+1}}}}＞0$
得$\frac{{n（{n+1}）}}{2^n}≤\frac{{5（{5+1}）}}{2^5}＜1$，
所以当n≥5时，c_n＜0，
综上对任意n∈N^*恒有S₄≥S_n，故k=4．…（13分）

点评 本题重点考查数列的运用，考查归纳推理，其中根据已知表格中填写的数字，找出数字填写的规律是解答本题的关键．