Question

16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g²x）＜1g²x的解集为（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{10}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{10}}）∪（{10，+∞}）$
• C． $（{\frac{1}{10}，10}）$
• D． （10，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-x，判断函数的单调性，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 解：构造函数g（x）=f（x）-x，
则函数的导数g′（x）=f′（x）-1，
∵f′（x）＜1，
∴g′（x）＜0，
即函数g（x）单调递减，
∵g（1）=f（1）-1=0，
∴若g（x）＜0，
即g（x）＜g（1），则x＞1，
则不等式f（1g²x）＜1g²x等价为f（1g²x）-1g²x＜0，
即g（1g²x）＜0，
则1g²x＞1，
则lgx＞1或lgx＜-1，
解得x＞10或0＜x＜$\frac{1}{10}$，
故不等式的解集为$（{0，\frac{1}{10}}）∪（{10，+∞}）$，
故选：B

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强．