Question

6．如图，已知ABCD是边长为2的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF．
（Ⅰ）证明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，CE=2，求直线EF与平面BDF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连接AC，交BD于点O，由正方形的性质得BD⊥AC，由线面垂直的性质，可得AF⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACEF，进而BD⊥EF；
（Ⅱ）连接OE，OF，过E作EH⊥OF交于点H，可得∠EFH即为直线EF与平面BDF所成的角，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC，交BD于点O．
∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，…（2分）
∵AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥BD；…（4分）
又∵AC∩AF=A，AC，AF?平面ACEF
∴BD⊥平面ACEF，…（6分）
又∵EF?平面ACEF，
∴BD⊥EF； …（7分）
（Ⅱ）解：连接OE，OF，由（Ⅰ）知，BD⊥平面ACEF，
∴平面BDF⊥平面ACEF，
过E作EH⊥OF交于点H，则EH⊥平面BDF，
∴∠EFH即为直线EF与平面BDF所成的角．…（10分）
在△EFO中，EF=3，FO=$\sqrt{3}$，EO=$\sqrt{6}$，
∴△EFO为直角三角形（H点为O点）
∴sin∠EFH=$\frac{EO}{EF}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，…（13分）

点评 本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．