Question

16．已知圆C：x²+y²-4x+2y+1=0关于直线L：x-2y+1=0对称的圆为 D．
（1）求圆D 的方程
（2）在圆C和圆 D上各取点 P，Q，求线段PQ长的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据对称性得到圆心C和圆心D关于直线对称，得到圆心D的坐标，从而求出圆D的方程；（2）根据题意画出图形，表示出|PQ|，从而求出最小值．

解答 解：（1）圆C的方程为（x-2）²+（y+1）²=4，圆心：C（2，-1），半径：r=2，
设圆D的方程为（x-a）²+（y-b）²=4，则点（a，b）与（2，-1）关于L对称．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+1}{a-2}•\frac{1}{2}=-1}\\{\frac{a+2}{2}-2×\frac{b-1}{2}+1=0}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
圆D：x²+（y-3）²=4；
（2）圆心C$（2，-1）到L的距离为\sqrt{5}，大于半径2$，
∴圆C与l相离，如图示：
，
∴CD=2$\sqrt{5}$，
∴PQ=CD-PC-DQ=2$\sqrt{5}$-4．

点评 本题考察了直线和圆的关系，圆的标准方程，考察最值问题，本题有一定的难度．