Question

4．已知实数a，b满足log₂（a+b）=log₄（4-4a²b²），当b=1时，a=$\frac{3}{5}$．当a-b取得最大值时，ab=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先根据对数的运算性质，得到（a+b）²=4-4a²b²，继而求出当b=1时，a的值，再根据（a-b）²=（a+b）²-4ab，得到（a-b）²=4-4a²b²-4ab=-4（ab-$\frac{1}{2}$）²+5，
根据二次函数的性质即可求出答案．

解答 解：∵log₂（a+b）=log₄（4-4a²b²），
∴（a+b）²=4-4a²b²，
当b=1时，
∴（a+1）²=4-4a²，
解得a=-1，a=$\frac{3}{5}$，
∵b=1，a+b=0，
∴a≠1，
∴a=$\frac{3}{5}$，
∵4-4a²b²＞0，且a+b＞0，
∴-1＜ab＜1，且a+b＞0，
∵（a-b）²=（a+b）²-4ab，
∴（a-b）²=4-4a²b²-4ab=-4（ab-$\frac{1}{2}$）²+5，
∴当ab=$\frac{1}{2}$时，（a-b）²有最大值，
∴当a-b取得最大值时，ab=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了对数的运算性质和二次函数的性质，属于中档题．