Question

10．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为$\frac{3}{4}$，乙队中3人答对的概率分别为$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．
（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；
（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．

解答 解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，
由于乙队中3人答对的概率分别为$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，
P（ξ=0）=（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{60}$，
P（ξ=10）=$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{9}{60}$=$\frac{3}{20}$，
P（ξ=20）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{26}{60}$=$\frac{13}{20}$，
P（ξ=30）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{5}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	10	20	30
P	$\frac{1}{60}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{2}{5}$

∴Eξ=0×$\frac{1}{60}$+10×$\frac{3}{20}$+20×$\frac{13}{30}$+30×$\frac{2}{5}$=$\frac{133}{6}$．
（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．
又P（A）=$（\frac{3}{4}）^{3}×\frac{1}{60}$=$\frac{9}{1280}$，P（B）=${C}_{3}^{2}$$（\frac{3}{4}）^{2}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{20}$=$\frac{81}{1280}$，
则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为
P（A+B）=P（A）+P（B）=$\frac{90}{1280}$=$\frac{9}{128}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率．