Question

20．某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A、B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时（其中64＜x＜100），中间每个桥墩的平均造价为$\frac{80}{3}\sqrt{x}$万元，桥面每1米长的平均造价为（2+$\frac{x\sqrt{x}}{640}$）万元．
（1）试将桥的总造价表示为x的函数f（x）；
（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A、B除外）应建多少个桥墩？

Answer 1

分析 （1）设相邻两个桥墩的距离为x米，推出桥的总造价的函数关系式．
（2）求出函数的导数，利用导函数求解函数的极值点，求出最值即可．

解答 解：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x米，知中间共有$（\frac{640}{x}-1）$个桥墩，
于是桥的总造价$f（x）=640（2+\frac{{x\sqrt{x}}}{640}）+\frac{80}{3}\sqrt{x}（\frac{640}{x}-1）+100$，
即$f（x）={x^{\frac{3}{2}}}+\frac{640×80}{3}{x^{-\frac{1}{2}}}-\frac{80}{3}{x^{\frac{1}{2}}}+1380$=${x^{\frac{3}{2}}}+\frac{51200}{3}{x^{-\frac{1}{2}}}-\frac{80}{3}{x^{\frac{1}{2}}}+1380$（64＜x＜100）…（7分）
（表达式写成$f（x）=x\sqrt{x}+\frac{51200}{{3\sqrt{x}}}-\frac{80}{3}\sqrt{x}+1380$同样给分）
（2）由（1）可求$f'（x）=\frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}}-\frac{640×40}{3}{x^{-\frac{3}{2}}}-\frac{40}{3}{x^{-\frac{1}{2}}}$，
整理得$f'（x）=\frac{1}{6}{x^{-\frac{3}{2}}}（9{x^2}-80x-640×80）$，
由f′（x）=0，解得x₁=80，${x_2}=-\frac{640}{9}$（舍），
又当x∈（64，80）时，f′（x）＜0；
当x∈（80，100）时，f′（x）＞0，
所以当x=80，桥的总造价最低，此时桥墩数为$\frac{640}{80}-1=7$…（14分）

点评 本题考查函数的综合应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查计算能力．