Question

10．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若$\frac{a}{sinB}$+$\frac{b}{sinA}$=2c，则∠A的大小为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由$\frac{a}{sinB}$+$\frac{b}{sinA}$=2c，利用正弦定理可得：$\frac{sinA}{sinB}+\frac{sinB}{sinA}$=2sinC，再利用基本不等式的性质可得sinC=1，即可得出．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
又$\frac{a}{sinB}$+$\frac{b}{sinA}$=2c，
∴$\frac{sinA}{sinB}+\frac{sinB}{sinA}$=2sinC≥2，当且仅当sinA=sinB时取等号．
而sinC≤1，
∴sinC=1，又C∈（0，π）．
∴C=$\frac{π}{2}$．
又sinA=sinB，∴A=B=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．