Question

9．设函数f（x）=ax-bx²（a＞0）．
（1）当b＞1时，若对任意x∈[0，1]，都有|f（x）|≤1，证明：b-1≤a≤2$\sqrt{b}$；
（2）当0＜b≤1时，若对任意x[0，1]，都有|f（x）|≤1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论绝对值不等式|f（x）|≤1的解集为f（x）≤1或f（x）≥-1，分别得到a的范围，求出公共解集即可，
（2）由f（x）≤1得到a-b≤1即a≤b+1，继而得到a的范围．

解答 证明：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≥-1．
据此可推出f（1）≥-1，即a-b≥-1，
∴a≥b-1．
对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≤1，
因为b＞1，可得0＜$\frac{1}{\sqrt{b}}$＜1，可推出f（$\frac{1}{\sqrt{b}}$）≤1，即a•$\frac{1}{\sqrt{b}}$-1≤1，
∴a≤2$\sqrt{b}$，
∴b-1≤a≤2$\sqrt{b}$．
（3）解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]有f（x）=ax-bx²≥-b≥-1，即f（x）≥-1；
f（x）≤1⇒f（1）≤1⇒a-b≤1，
即a≤b+1．
故a的取值范围为（0，b+1）

点评 本题考查了绝对值不等式的证明和参数的取值范围，属于中档题．