Question

19．如图，已知边长为2的正△A′BC，顶点A′在平面α内，顶点B，C在平面α外的同一侧，点B′，C′分别为B，C在平面α上的投影，设|BB′|≤|CC′|，直线CB′与平面A′CC′所成的角为φ．若△A′B′C′是以∠A′为直角的直角三角形，则tanφ的范围为$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．

Answer 1

分析 由题意找出线面角，设BB′=a，CC′=b，可得ab=2，然后由a的变化得到A′B′的变化范围，从而求得tanφ的范围．

解答 解：如图，
由CC′⊥α，A′B′?α，得A′B′⊥CC′，
又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′，
∴A′B′⊥面A′C′C，则φ=∠B′CA′，
设BB′=a，CC′=b，则A′B′²=4-a²，A′C′²=4-b²，
设B′C′=c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{4-{a}^{2}+4-{b}^{2}={c}^{2}}\\{（\frac{c}{2}）^{2}+（\frac{a+b}{2}）^{2}=3}\end{array}\right.$，整理得：ab=2．
∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b，
tanφ=$\frac{A′B′}{2}$，
在三角形BB′A′中，∵斜边A′B为定值2，
∴当a最大为$\sqrt{2}$时，A′B′取最小值$\sqrt{2}$，tanφ的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当a减小时，tanφ增大，
若a≤1，则b≥2，在Rt△A′CC′中出现直角边大于等于斜边，矛盾，
∴a＞1，此时A′B′＜$\sqrt{3}$，即tanφ$＜\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴tanφ的范围为$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
故答案为：$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．

点评 本题考查了直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和思维能力，灵活性强，属有一定难度题目．