Question

20．已知实数x，y满足x²+y²-4x+1=0．
（1）求x²+y²的最值；
（2）求$\frac{y}{x+1}$的最值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，满足x²+y²-4x+1=0的点P（x，y）在以C（2，0）为圆心，半径为$\sqrt{3}$的圆上，而x²+y²=|OP|²．因此当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值．由此结合点到直线的距离公式，即可求出x²+y²的最大值和最小值；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}=3}\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+（2k²-4）x+k²+1=0，根据△=（2k²-4）²-4（k²+1）²=0，从而求出$\frac{y}{x+1}$的最值．

解答 解：（1）∵实数x，y满足x²+y²-4x+1=0，可化成（x-2）²+y²=3
∴满足x²+y²-4x+1=0的点P（x，y）在以C（2，0）为圆心，半径为$\sqrt{3}$的圆上
而x²+y²=|OP|²，
∵当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值
∴当圆C上的点P在OC延长线上时，|OP|的最大值为|OC|+$\sqrt{3}$=2+$\sqrt{3}$．
得到x²+y²的最大值为（2+$\sqrt{3}$）²=7+4$\sqrt{3}$；
当圆C上的点P在线段OC上时，|OP|的最小值为|OC|-$\sqrt{3}$=2-$\sqrt{3}$，
得到x²+y²的最小值为（2-）²=7-4$\sqrt{3}$．
综上所述，x²+y²的最大值为7+4$\sqrt{3}$；最小值为7-4$\sqrt{3}$；
（2）满足x²+y²-4x+1=0的点（x，y）在以C（2，0）为圆心，半径为$\sqrt{3}$的圆面上，
$\frac{y}{x+1}$表示过圆面上的点和点（-1，0）的直线的斜率，
设过（-1，0）的直线方程是：y=k（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}=3}\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+（2k²-4）x+k²+1=0，
由△=（2k²-4）²-4（k²+1）²=0，解得：k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${（\frac{y}{x+1}）}_{min}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，${（\frac{y}{x+1}）}_{max}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题给出满足二次方程的实数x、y，求x²+y²和$\frac{y}{x+1}$的最值，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和二元函数最值的求法以及直线的斜率等知识，属于中档题．