Question

10．如图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，CA=CB=1，∠ACB=90°，棱AA₁=2，如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系
（1）求平面A₁B₁C的法向量；
（2）求直线AC与平面A₁B₁C夹角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）求出平面中的两个共点向量，利用数量积为0，求出平面A₁B₁C的法向量；
（2）求出$\overrightarrow{CA}=（1，0，0）$，利用向量的夹角公式求直线AC与平面A₁B₁C夹角的正弦值．

解答 解：（1）由题意可知C（0，0，0），A₁（1，0，2），B₁（0，1，2）
故$\overrightarrow{C{A_1}}=（1，0，2），\overrightarrow{C{B_1}}=（0，1，2）$…（3分）
设$\overrightarrow v=（{{x_0}，{y_0}，{z_0}}）$为平面A₁B₁C的法向量，则$\overrightarrow v•\overrightarrow{C{A_1}}=（{{x_0}，{y_0}，{z_0}}）（1，0，2）={x_0}+2{z_0}=0$，…（5分）$\overrightarrow v•\overrightarrow{C{B_1}}=（{{x_0}，{y_0}，{z_0}}）（0，1，2）={y_0}+2{z_0}=0$…（7分）
$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=-2{z_0}}\\{{y_0}=-2{z_0}}\end{array}}\right.$，令z₀=1，则$\overrightarrow v=（{-2，-2，1}）$…（9分）
（2）设直线AC与平面A₁B₁C夹角为θ，$\overrightarrow{CA}=（1，0，0）$…（10分）
sinθ=$\frac{|-2|}{1×\sqrt{4+4+1}}$=$\frac{2}{3}$…（14分）

点评 本小题主要考查求平面的法向量，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．属中档题．正确运用向量法是关键．