Question

15．一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD为一个矩形，其中AB=6，AD=4，顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6$\sqrt{2}$，二面角F-BC-A的余弦值为$\frac{\sqrt{17}}{17}$．设M，N分别是AD，BC的中点．
（I）证明：平面EFNM⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）根据线面平行的性质定理推断出EF∥AB，又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，推断出MN∥AB，进而可知EF∥MN，推断出E，F，M，N四点共面．根据FB=FC，推断出BC⊥FN，又BC⊥MN，根据线面垂直的判定定理推断出，BC⊥平面EFNM，即可证明平面EFNM⊥平面ABCD；
（Ⅱ）在平面EFNM内F做MN的垂线，垂足为H，则由第 （1）问可知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，进而可知FH⊥平面ABCD，又因为FN⊥BC，HN⊥BC，可知二面角F-BC-A的平面角为∠FNH．在Rt△FNB和Rt△FNH中，分别求得FN和HN，过H做边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，建立空间直角坐标系，由此能求出直线BF与平面EFCD所成角的正弦值．

解答 （I）证明：∵EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，
又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，
∴EF∥AB，
又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，
∴MN∥AB，
∴EF∥MN，
∴E，F，M，N四点共面．
∵FB=FC，
∴BC⊥FN，
又∵BC⊥AB，
∴BC⊥MN，
∵FN∩MN=N，
∴BC⊥平面EFNM，
∵BC?平面ABCD，
∴平面EFNM⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：在平面EFNM内F做MN的垂线，垂足为H，则由第（I）问可知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，∴FH⊥平面ABCD，
又∵FN⊥BC，HN⊥BC，∴二面角F-BC-A的平面角为∠FNH．
在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN=$\sqrt{68}$，HNHN=FNcos∠FNH=2，∴FH=8，
过H做边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，
以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则F（0，0，8），S（2，0，0），C（-2，2，0），D（-2，-4，0），
则$\overrightarrow{FB}$=（2，2，-8），$\overrightarrow{FC}$=（-2，2，-8），$\overrightarrow{CD}$=（0，-6，0）
设平面EFCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y-8z=0}\\{-6y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-4，0，1），
设直线BF与平面EFCD所成角为θ，则sinθ=$\frac{|-8-8|}{\sqrt{2+4+64}•\sqrt{16+1}}$=$\frac{4\sqrt{34}}{51}$．

点评 本题主要考查了空间点，线面的位置关系，空间的角的计算．考查学生的空间想象能力和运算能力．属于中档题．