Question

20．如图，已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线为直线x=-1，过点D（a，0）（a＞0）的动直线l交抛物线E于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）若以线段AB为直径的圆恒过抛物线E上的某定点C（异于A，B两点），求a的值和点C的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线中变量p，即可得到抛物线方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+a与抛物线联立方程组，利用判别式大于0，得到关系式，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），利用韦达定理连结斜率的数量积为0，推出方程组求出a的值4，推出点C的坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线为直线x=-1，
∴$-\frac{p}{2}=-1$，∴p=2，
∴抛物线方程为：y²=4x．                   …（3分）
（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+a
联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+a\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$，消去x得：y²-4my-4a=0           …（4分）
△=（-4m）²-4×1×（-4a）=16m²+16a＞0           …（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a，y₀²=4x₀．…（6分）
$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=（{{x}_{1}-x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）+（{y}_{1}-{y}_{0}）（{y}_{2}-{y}_{0}）$         …（7分）
=（my₁+a-x₀）（my₂+a-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）
=（m²+1）y₁y₂+[m（a-x₀）-y₀]（y₁+y₂）+（a-x₀）²+y₀²
=-4a（m²+1）+4m（ma-mx₀-y₀）+（a-x₀）²+y₀²
=-m²y₀²-4my₀+${a}^{2}-4a+\frac{1}{16}{y}_{0}^{4}+（1-\frac{1}{2}a）{y}_{0}^{2}$         …（9分）
∵以线段AB为直径的圆恒过抛物线E上的某定点C（异于A，B两点）
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$对任意实数m恒成立                    …（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}-{y}_{0}^{2}=0\\-4{y}_{0}=0\\{a}^{2}-4a+\frac{1}{16}{y}_{0}^{4}+（1-\frac{1}{2}a）{y}_{0}^{2}=0\end{array}\right.$                …（11分）
又a＞0，y₀²=4x₀，∴x₀=y₀=0，a=4．
所以a的值为4，点C的坐标为（0，0）．                …（12分）

点评 本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、方程思想等．