Question

11．设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．
①若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；
②若f（x）在（1，3）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析 解①f′（x）=6（x-a）（x-1），由f（x）在x=3处取得极值，可得f′（3）=0，解得a即可得出．
②令f′（x）=6（x-a）（x-1）=0，解得x=a或1．对a分类讨论：当a≤1时；当1＜a＜3时，；当a≥3时．研究函数的单调性即可得出．

解答 解：①f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1），
∵f（x）在x=3处取得极值，
∴f′（3）=6（3-a）（3-1）=0，解得a=3．
经过检验，当a=3时，x=3为函数f（x）的极值点．
②令f′（x）=6（x-a）（x-1）=0，解得x=a或1．当a≤1时，f′（x）≥0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递增，不合题意舍去；
当1＜a＜3时，当1＜x＜a时，f′（x）＜0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递减；当a＜x＜3时，f′（x）＞0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递增，满足题意；
当a≥3时，f′（x）＜0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递减，不合题意舍去．
综上可得：a的取值范围是（1，3）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．