Question

3．已知函数f（x）=$\frac{3x-2}{2x-1}$（x$≠\frac{1}{2}$）．
（1）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）的值；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=f（a_n），求证：{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列；
（3）求证：a₁a₂…a_n＞$\sqrt{2n+1}$．

Answer 1

分析 （1）求出当x₁+x₂=1时，f（x₁）+f（x₂）=3，即可得到所求值为3021；
（2）求得a_n+1=f（a_n）=$\frac{3{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-1}$，两边减1，再取倒数，化简整理，由等差数列的定义，即可得证；
（3）由等差数列的通项公式，求得a_n，再由数学归纳法证明，注意第二步，可运用分析法证明．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{3x-2}{2x-1}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2（2x-1）}$，
当x₁+x₂=1时，f（x₁）+f（x₂）=3+$\frac{3}{2（2{x}_{1}-1）}$+$\frac{3}{2（2{x}_{2}-1）}$
=3+$\frac{3}{2（2{x}_{1}-1）}$+$\frac{3}{2（1-2{x}_{1}）}$=3．
即有f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）=[f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2014}{2015}$）]+[f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{2013}{2015}$）]+…
+[f（$\frac{1007}{2015}$）+f（$\frac{1008}{2015}$）]=3×1007=3021；
（2）证明：a₁=2，a_n+1=f（a_n）=$\frac{3{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-1}$，
a_n+1-1=$\frac{3{a}_{n}-2-2{a}_{n}+1}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}-1}{2{a}_{n}-1}$，
$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
则有{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是首项为1，公差为2的等差数列；
（3）证明：由（2）可得，$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+2（n-1）=2n-1，
即有a_n=$\frac{2n}{2n-1}$，
运用数学归纳法证明．
当n=1时，a₁=2＞$\sqrt{3}$成立；
假设n=k时，a₁a₂…a_k＞$\sqrt{2k+1}$，
当n=k+1时，a₁a₂…a_ka_k+1＞$\sqrt{2k+1}$•$\frac{2k+2}{2k+1}$，
要证$\sqrt{2k+1}$•$\frac{2k+2}{2k+1}$＞$\sqrt{2（k+1）+1}$，
即证2k+2＞$\sqrt{2k+1}$•$\sqrt{2k+3}$，
即证4k²+8k+4＞4k²+4k+3，
上式显然成立．
即有当n=k+1时，a₁a₂…a_ka_k+1＞$\sqrt{2（k+1）+1}$成立，
则有a₁a₂…a_n＞$\sqrt{2n+1}$．

点评 本题考查函数值的求法，主要考查等差数列的通项，注意运用构造数列法，同时考查数学归纳法的运用证明不等式，注意由n到n+1，可运用分析法，属于中档题．