Question

14．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=2，D为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）求二面角B-B₁D-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量法结合线面垂直的判定定理即可证明BC₁⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-B₁D-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AC的中点O，连接BO，取A₁C₁的中点O₁，连接O₁O，
以O为坐标原点，建立空间坐标系如图，
则B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），B₁（$\sqrt{3}$，0，2），C₁（0，1，2），D（0，-1，1），
∵$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-$\sqrt{3}$，1，-2），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-$\sqrt{3}$，-1，-1），
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-$\sqrt{3}$，1，2）•（-$\sqrt{3}$，1，-2）=3+1-4=0，
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-$\sqrt{3}$，-1，-1）•（-$\sqrt{3}$，1，2）=3-1-2=0，
即BC₁⊥B₁C，BC₁⊥B₁D；
∴BC₁⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）设平面BB₁D的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，-1，1），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{2z=0}\\{-\sqrt{3}x-y+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=-$\sqrt{3}$，z=0，
即 $\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
由（Ⅰ）$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），为平面B₁DC的一个法向量，
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{2×2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∵二面角B-B₁D-C为锐二面角，
∴二面角B-B₁D-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．