Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E，F分别为PC，CD的中点．
（1）证明：AB⊥平面BEF；
（2）设PA=kAB，若平面EBD与平面BDC的夹角是大于45°的锐角，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明AB⊥平面BEF；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，表示出二面角的大小即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AB⊥PA，AB⊥AD，
∴AB⊥面APD，
又∵BF∥AD，EF∥PD，
∴面APD∥面BEF，
∴AB⊥面BEF．
（2）以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AB=1，
则 B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，k），E（1，1，$\frac{k}{2}$），
则$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，$\frac{k}{2}$），
设平面CBD法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1），平面BDE的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n2}?\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow{n2}?\overrightarrow{BE}=0\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-x+2y=0\\ 2y+kz=0\end{array}$   令y=1 
即$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，1，-$\frac{2}{k}$），
设二面角E-BD-C大小为θ，
即cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\frac{2}{k}}{\sqrt{{2}^{2}+1+\frac{4}{{k}^{2}}}}$$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得k＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判断以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．