Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x-lnx，其中a＞-1．
（Ⅰ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：当-1＜a＜0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（x）有两个极值点，等价于方程f'（x）=0在（0，+∞）上有两个不等的实根，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）分类讨论，结合函数的定义域，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；
（Ⅲ）f（x）的图象连续不断，证明当-1＜a＜0时，f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：$f'（x）=ax+（1-a）-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}+（1-a）x-1}}{x}=\frac{（x-1）（ax+1）}{x}，x＞0$，…（2分）
f（x）有两个极值点等价于方程f'（x）=0在（0，+∞）上有两个不等的实根，
等价于$\left\{{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a≠0}\\{-\frac{1}{a}＞0}\\{-\frac{1}{a}≠1}\end{array}}\right.$，解得-1＜a＜0，即为所求的实数a的取值范围．…（5分）
（Ⅱ）解：（1）当-1＜a＜0时，$-\frac{1}{a}＞1$，$f'（x）=\frac{{a（x-1）（x+\frac{1}{a}）}}{x}，x＞0$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f'（x）＜0}\end{array}}\right.$得，$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{（x-1）（x+\frac{1}{a}）＞0}\end{array}}\right.$，解得$0＜x＜1或x＞-\frac{1}{a}$，…（6分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f'（x）＞0}\end{array}}\right.$得，$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{（x-1）（x+\frac{1}{a}）＜0}\end{array}}\right.$，解得$1＜x＜-\frac{1}{a}$，…（7分）
此时f（x）在（0，1）、$（-\frac{1}{a}，+∞）$上递减，在$（1，-\frac{1}{a}）$上递增，…（8分）
（2）当a≥0时，因为x＞0，所以ax+1＞0，则当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．从而f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，…（10分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，（1）当-1＜a＜0时，$f{（x）_{极小值}}=f（1）=1-\frac{1}{2}a＞1＞0$，…（11分）$f（-\frac{4}{a}）=4+\frac{4}{a}-ln（-\frac{4}{a}）=\frac{4（a+1）}{a}-ln（-\frac{4}{a}）$，
因为-1＜a＜0，
所以$\frac{a+1}{a}＜0$，又$-\frac{4}{a}＞4$，所以$ln（-\frac{4}{a}）＞0$，从而$f（-\frac{4}{a}）＜0$．…（14分）
又f（x）的图象连续不断，故当-1＜a＜0时，f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点．
所以当-1＜a＜0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根．…（15分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．