Question

18．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB₁的中点，则下列结论中错误的是（　　）

• A． D₁O∥平面A₁BC₁
• B． D₁O⊥平面AMC
• C． 异面直线BC₁与AC所成的角等于60°
• D． 二面角M-AC-B等于45°

Answer 1

分析 由线面平行的判定证明A正确；由线面垂直的判定说明B正确；由异面直线所成角的概念结合正方体的面对角线相等说明C正确；找出二面角M-AC-B的平面角，由直角三角形两直角边不等说明D错误．

解答 解：如图，

连接B₁D₁，交A₁C₁于N，则可证明OD₁∥BN，
由OD₁?面A₁BC₁，BN?面A₁BC₁，可得D₁O∥面A₁BC₁，A正确；
由三垂线定理的逆定理可得OD₁⊥AC，
设正方体棱长为2，可求得OM²=3，$O{{D}_{1}}^{2}=6$，$M{{D}_{1}}^{2}=9$，
则$O{{D}_{1}}^{2}+O{M}^{2}={D}_{1}{M}^{2}$，有OD₁⊥OM，由线面垂直的判定可得D₁O⊥平面AMC，B正确；
由正方体的面对角线相等得到△A₁BC₁为正三角形，即∠A₁C₁B=60°，
∴异面直线BC₁与AC所成的角等于60°，C正确；
∠MOB为二面角M-AC-B的平面角，在Rt△MBO中，∵OB≠BM，∴二面角M-AC-B不等于45°，D错误．
故选：D．

点评 本题考查了空间直线和平面的位置关系，考查了异面直线所成角、二面角的求法，是中档题．