Question

13．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB₁的中点，则下列结论中错误的是（　　）

• A． D₁O∥平面A₁BC₁
• B． D₁O⊥平面AMC
• C． 异面直线BC₁与AC所成的角等于60°
• D． 点B到平面AMC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由线面平行的判定证明A正确；由线面垂直的判定说明B正确；由异面直线所成角的概念结合正方体的面对角线相等说明C正确；设出正方体棱长，利用等积法求出B到平面AMC的距离，说明D错误．

解答 解：如图，
连接B₁D₁，交A₁C₁于N，则可证明OD₁∥BN，
由OD₁?面A₁BC₁，BN?面A₁BC₁，可得D₁O∥面A₁BC₁，A正确；
由三垂线定理的逆定理可得OD₁⊥AC，
设正方体棱长为2，可求得OM²=3，$O{{D}_{1}}^{2}=6$，$M{{D}_{1}}^{2}=9$，
则$O{{D}_{1}}^{2}+O{M}^{2}={D}_{1}{M}^{2}$，有OD₁⊥OM，由线面垂直的判定可得D₁O⊥平面AMC，B正确；
由正方体的面对角线相等得到△A₁BC₁为正三角形，即∠A₁C₁B=60°，
∴异面直线BC₁与AC所成的角等于60°，C正确；
设点B到平面AMC的距离为d，正方体的棱长为2a，则$AC=2\sqrt{2}a$，
$OM=\sqrt{3}a$，由V_B-AMC=V_A-BCM，得
$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AC×OM×d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×AB×BM$，
即$2\sqrt{2}a×\sqrt{3}a×d=4{a}^{3}$，解得：d=$\sqrt{6}a$，D错误．
故选：D．

点评 本题考查了空间直线和平面的位置关系，考查了异面直线所成角的求法，训练了利用等积法求点到面的距离，是中档题．