Question

8．椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$与圆M：x²+（y-m）²=9（m∈R），双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，当m=5时，求双曲线G的方程．

Answer 1

分析 椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$可得焦点（±5，0）．设双曲线G的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0）．可得双曲线的渐近线为：y=$±\frac{b}{a}x$．可得a²+b²=25．当m=5时，圆M：x²+（y-m）²=9（m∈R）的方程即为：x²+（y-5）²=9（m∈R），由于双曲线的两条渐近线恰好与圆M相切，圆心到渐近线的距离等于半径3，联立解出即可．

解答 解：椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$可得焦点（±5，0）．
设双曲线G的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0）．
可得双曲线的渐近线为：y=$±\frac{b}{a}x$．
当m=5时，圆M：x²+（y-m）²=9（m∈R）的方程即为：x²+（y-5）²=9（m∈R），
∵双曲线的两条渐近线恰好与圆M相切，
∴$\frac{|0-5a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=3$，化为4a=3b．
又a²+b²=25，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴双曲线G的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．