Question

17．函数f（x）=x³-x²-x+m，（m∈R）
（1）求f（x）的极值；
（2）当m在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与直线y=1有三个不同的交点．

Answer 1

分析 （1）求f′（x），求f′（x）=0的实数根，从而根据f′（x）的符号即可求得f（x）的极大值和极小值；
（2）根据f（x）的单调性及极值，画出f（x）的大致图象，根据图象即可求出使曲线y=f（x）与直线y=1有三个不同的交点的m的范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2x-1；
令f′（x）=0得，x=$-\frac{1}{3}$，或1；
∴$x∈（-∞，-\frac{1}{3}）$时，f′（x）＞0，x∈$（-\frac{1}{3}，1）$时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴x=$-\frac{1}{3}$时，f（x）取得极大值$\frac{5}{27}+m$；x=1时，f（x）取得极小值m-1；
（2）画出f（x）和y=1的图象如下：
由图象可以看出，要使曲线y=f（x）与直线y=1有三个不同的交点，则：
f（x）的极大值$\frac{5}{27}+m＞1$；
∴$m＞\frac{22}{27}$；
∴满足条件的m的范围为$（\frac{22}{27}，+∞）$．

点评 考查函数极值的概念，及求极值的方法与过程，数形结合的解题方法．