Question

12．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠BAD=120°，E，F分别为BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD
（2）若PA=AB=4，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出AE⊥BC，AE⊥AD，由线面垂直得PA⊥AE，由此能证明AE⊥平面PAD，则AE⊥PD；
（2）过E作ES⊥AF于S，连接OS，由已知条件得∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，由此能求出二面角E-AF-C的余弦值．

解答 （1）证明：如图，
由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
可得∠ABC=60°，△ABC为正三角形．
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，PA⊥AE．
而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，
PD?面PAD，∵AE⊥PD；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．
过E作EO⊥AC于O，则由面面垂直的性质定理可知：EO⊥平面PAC，
∴EO⊥AF，过E作ES⊥AF于S，连接OS，AF⊥平面ESO，
∴AF⊥SO，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角．
在Rt△AOE中，OE=AEsin30°=$\sqrt{3}$，OA=AEcos30°=3，
又F是PC的中点，PA=AC，∴AF⊥PC且AF=FC，
在Rt△ASO中，SO=AOsin45°=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
又SE=$\sqrt{E{O}^{2}+S{O}^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{2}}$．
在Rt△ESO中，cosESO=$\frac{OS}{SE}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
即二面角E-AF-C的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是中档题．