Question

4．如图，在四棱锥 P-A BCD中，底面 A BCD为正方形，平面 P AD⊥底面 A BCD，点 E在棱 PD上，且 A E⊥PD．
（Ⅰ）求证：平面 A B E⊥平面 PCD；
（Ⅱ）已知 PD与底面 A BCD所成角为30°，求二面角 E-AC-D的正切值．

Answer 1

分析 （I）由AB⊥AD，利用面面垂直的性质可得：AB⊥平面PAD，进而得到PD⊥平面ABE，即可证明；
（II）过点E作EF⊥AD，F为垂足，过点F作FG⊥AC，G为垂足，连接EG．利用面面垂直的性质可得：EF⊥平面ABCD，AC⊥EG．可得：∠EGF是二面角 E-AC-D的平面角．再利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （I）证明：∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，
又AE⊥PD，AB∩AE=A，
∴PD⊥平面ABE，
而PD?平面PCD，
∴平面ABE⊥平面PCD；
（II）解：过点E作EF⊥AD，F为垂足，过点F作FG⊥AC，G为垂足，连接EG．
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴EF⊥平面ABCD，
∴AC⊥EG．
∴∠EGF是二面角 E-AC-D的平面角．
∵PD与底面ABCD所成角为30°，∴∠EDF=30°，
又AE⊥PD，∴∠EAF=60°．
∵tan∠EAF=$\frac{EF}{AF}$，tan∠EGF=$\frac{EF}{FG}$，$\frac{FG}{FA}$=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴tan∠EGF=$\frac{AF}{FG}tan∠EAD$=$\sqrt{2}tan6{0}^{°}$=$\sqrt{6}$．
∴二面角E-AC-D的正切值为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、三垂线定理、线面角与二面角、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．