Question

13．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，BC=$\sqrt{2}$，AB=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{4}$，点E在棱BB₁上．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）若BE=λBB₁，试确定λ的值，使得二面角A-C₁E-C的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过由余弦定理、勾股定理及线面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅱ）以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，通过平面AC₁E的一个法向量与平面C₁EC的一个法向量的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵BC=$\sqrt{2}$，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{4}$，
在△BCC₁中，由余弦定理，可求得C₁B=$\sqrt{2}$，
∴C₁B²+BC²=${C}_{1}{C}^{2}$，即C₁B⊥BC．
又AB⊥侧面BCC₁B₁，故AB⊥BC₁，
又CB∩AB=B，所以C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC、BA、BC₁两两垂直，
以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），
C₁（0，0，$\sqrt{2}$），B₁（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+λ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，-$\sqrt{2}$）+λ（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$）=（-$\sqrt{2}$λ，0，-$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$λ），
设平面AC₁E的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}A}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2y-\sqrt{2}z=0}\\{-\sqrt{2}λx-\sqrt{2}（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{2}$，取$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}（λ-1）}{λ}$，1，$\sqrt{2}$），
又平面C₁EC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{2（λ-1）^{2}}{{λ}^{2}}+3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得λ=$\frac{1}{2}$．
所以当λ=$\frac{1}{2}$时，二面角A-C₁E-C的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查空间中线面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．