Question

2．如图，在多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，M、N分别为EC和BD的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC⊥BD，BC⊥DE，即可证明BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz，求出平面BMC的法向量，即可求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，取CD中点H，连接BH，因为AD=AB，AB∥CD，AD⊥CD，
所以四边形ADHB为正方形，
又BD²=AD²+AB²=2，BC²=HC²+HB²=2，
所以CD²=BD²+BC²，所以BC⊥BD…（2分）
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊥AD，
所以DE⊥平面ABCD，…（4分）
所以BC⊥DE，
又BD∩DE=D，故BC⊥平面BDE．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CD⊥平面ABCD，AD⊥CD，所以DE，DA，DC两两垂直．
以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz，则C（0，2，0），B（1，1，0），E（0，0，1），$M（0，1，\frac{1}{2}）$，$N（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{MC}=（0，1，-\frac{1}{2}）$…（7分）
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$为平面BMC的法向量，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{MC}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{y-\frac{1}{2}z=0}\end{array}}\right.$
可取$\overrightarrow n=（1，1，2）$，…（9分）
又$\overrightarrow{MN}=（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$，所以$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{MN}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{MN}}}{{\overrightarrow{|n}||\overrightarrow{MN}|}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…（11分）
直线MN与平面BMC所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力以及逻辑推理能力．