Question

10．已知函数f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$ax²-（a+2）x（a≠0）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当0＜a＜2时，求函数f（x）在区间[1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而确定出函数的递增区间；（2）通过讨论a的范围，先求出函数的单调区间，从而求出函数的值域．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2}{x}$+x-（a+2）=$\frac{（ax-2）（x-1）}{x}$，（x＞0），
①a＜0时，令f′（x）＞0，解得：$\frac{2}{a}$＜x＜1，
②0＜a＜2时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{a}$，或0＜x＜1，
③a≥2时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，或0＜x＜$\frac{2}{a}$，
综上：a＜0时，f（x）在（$\frac{2}{a}$，1）递增，
0＜a＜2时，f（x）在（0，1），（$\frac{2}{a}$，+∞）递增，
a≥2时，f（x）在（0，$\frac{2}{a}$），（1，+∞）递增；
（2）由（1）得：0＜a＜2时，f（x）在[1，$\frac{2}{a}$）递减，在（$\frac{2}{a}$，+∞）递增，
①0＜a＜1时，$\frac{2}{a}$＞2，函数f（x）在[1，2]递减，
∴f（x）_最小值=f（2）=2ln2-4，f（x）_最大值=f（1）=-$\frac{1}{2}$a-2，
∴函数f（x）在[1，2]上的值域是：[2ln2-4，-$\frac{1}{2}$a-2]；
②1≤a＜2时，$\frac{2}{a}$≤2，函数f（x）在[1，$\frac{2}{a}$）递减，在（$\frac{2}{a}$，2]递增，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{2}{a}$）=2ln$\frac{2}{a}$-2-$\frac{2}{a}$，f（x）_最大值={f（1）或f（2）}；
∴函数在[1，2]上的值域是：[2ln$\frac{2}{a}$-2-$\frac{2}{a}$，（f（1），f（2））_max]．

点评 本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，考察分类讨论，是一道中档题．