Question

19．已知函数f（x）=e^x．
（1）证明：当0≤x＜1时，e^x≤$\frac{1}{1-x}$；
（2）若函数h（x）=|1-f（-x）|+af（x）-3（a＞0是常数）在区间[-ln3，ln3]上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）构造函数，确定其单调性求最值，即可证明结论；
（2）分类讨论，分离参数，即可证明结论．

解答 （1）证明：令g（x）=e^x-$\frac{1}{1-x}$，则g′（x）=e^x-$\frac{1}{（1-x）^{2}}$，
∵0≤x＜1，∴g′（x）=e^x-$\frac{1}{（1-x）^{2}}$＜0，
∴函数在[0，1）上单调递减，
∴g（x）≤g（0）=0，
∴当0≤x＜1时，e^x≤$\frac{1}{1-x}$；
（2）解：x∈[0，ln3]时，h（x）=0可得a=e^-2x+2e^-x=（e^-x+1）²-1，∴$\frac{7}{9}$≤a≤3，
x∈[-ln3，0）时，h（x）=0可得a=-e^-2x+4e^-x=-（e^-x-2）²+4，∴3＜a≤4
综上，$\frac{7}{9}$≤a≤4．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．